1、 乐音
　　 公元前6世纪古希腊数字家毕达哥拉斯曾做过这样的实验：绷紧两根水平放置、质料相同的弦，
保持两弦的张力相同（将弦系在相同重物上，通过滑轮下坠），但长度不同。同时发音后，实验发现，如果它们的长度比值是两上小整数之比（例如1：2，2：3，3：4等等），人耳听起来就觉得和谐、悦耳。我们知道，两端固定弦所产生的基频和弦长成反比例。因此，毕达哥拉斯的这个实验结论又可以表述为：频率之比为两个小的整数比的两个音，同时发音时，听起来使人觉得和谐、悦耳。这条实验规律以受了广泛、长期的实践考查，已被证明是人类听觉系统的一条普遍规律。这条规律是乐音分析的出发点，也是整个乐音实验基础之一。
　 由这条规律，就不难理解乐音与噪音的主要区别。两者区别是：乐音的声波随时间呈周期变化，而噪音则不是。根据前面傅里叶分析可知，乐意地有确实的基频以及和这个基频呈整数倍关系的各阶谐频，这种音听起来使人产生有固定音高（通常以基频为代表）的感觉，和谐的感觉；噪音的频谱一般较复杂，谐频和基频的频率比值一般不是整数倍或整数比的关系，听起来不但不和谐、不悦耳，而且也缺乏固定音高的感觉。细致分析起来，乐音给人和谐悦耳的感觉来自两上方面；基一，最初5-6个谐音和基音的频率比值为一些小的整数；其二，最初5-6个谐音之间的频率比值为一些最小整数之比。换句话说，的谐不仅来自基音和最初几个谐音，也来自最初几个谐音之间。至于更高阶的谐音，通常由于基振幅不大，对谐和性分析已不关重要，常被略去（但它们的总和对强度会有一定的贡献）。

2、乐音的要素
　　 一个乐音，除了必定具有上述两方面的谐和性（或其中之一）而成其为乐音之外，还包含三个要素：音调（音高）、音色（音质）、响度（音响）。此外，若把一个乐音放在运动的旋律中，作为旋律的一个元素来考虑，乐音还有第四个要素：时值，即持续时间。
　　 一个固定音高的音，也就是有固定基频和各阶谐频的音，由于其中所含各阶谐频成分的比例不同，其音色也不同，也就是说，一个音的音色由其频谱所决定。比如，由不同乐器或是不同性别、年龄的人发出同一音高的乐音，听起来仍然可以清晰地辨认它们之间的差别。这主要是由于所发乐音中频谱不同，使得音色不同，甚至于，一个乐音，在其激发之后的衰减过程中，由于其中各成分的衰减速率不同，乐音的音色也在不断地变化。另外当几个音同时发声时，所溶合成的一个合成音响——和弦，极大地丰富了乐音的色彩。和弦的一个重要性质是它的谐和程度，因此和弦常被区分为谐和弦及不谐和和弦，谐和和弦的色彩使人感到稳定、安宁和简单，与此对比，一个不谐和和弦的色彩使人感到紧张、不稳定并具有运动的意义，常常需要将其进行到它后面的谐和和弦。在三和弦中，只有大三和弦（三个音的频率比为4：5：6）及小三和弦（频率经继5：6：15/2）是完全谐和的，其余的和弦都属于不谐和或不完全谐和和弦（详见第八章）。第三个要素——响度是判听乐音的基础。如果一个音的响度太小，便难以判别它的音高和音色，而响度过大又会返回来影响对这个音的印象。关于第四个要素——时值，也和音乐中其他许多概念一样，有明显的相对性，一个音只在包含着比它短的音的旋律中才使人听起来感到长。音高和时值的有时而艺术的结合便成为旋律。旋律的行进可以是均匀、平滑和徐缓的，也可以是颠簸、有棱角和大跨度跳跃的，这仿佛绘画中的轮廓线条。而和弦就仿佛是画中的色调。
　　 最后，介绍几个名词，一个乐器，它所发出的乐音中，基频#402;常称为基音#402;，或第一谐音#402;。频率是基频#402;一倍的谐音称为第二阶谐音。第二阶谐音与第一阶谐音频率之比（不是相减，详见音律或韦伯一费克纳定律）所形成的音区间隔称为一个8度，第三阶谐音的频率为3#402;，等等，频率较高的谐音称为高阶谐音。有些乐器（如打击乐器等）所发的乐音中，各成分之间的频率比值明显偏离上述整数倍关系，这时把除基音之外的各阶成分称为泛音，而不称为谐音（但时常也混用）。此外，如果一个乐音只含一个频率，便称这种乐音为纯音。与此相反，如果一个乐音中包含有很强的谐音（或泛音），便称其为富音调。

乐律分析：

1、乐律的概念
　　 音乐中所用的乐音在高度上并非可以任意为之，它们是根据一定的方法和准则（即所谓“定律法”或“生律法”）加以制定。具有特定高度标准和特定音高序列关系的影响，通常即称作“音律”或“乐律”。
　　 乐律即乐音的规律，就是把一个音阶（一个八度的音，从1-i）分为若干部分，每一部分称为一律，部分越小音律越多，部分越大音律越少，从理论上讲，划分多，声音纯正，但从实际演奏来讲，宜少分为是。
　　 在人类音乐文化史上，早在二千多年前就开始了对乐音定律的研究，历史上也曾创立了多种定律法和律制，但任何定律法和律制都是以音乐实践为根本依据的，现今世界各国通行三种律制即五度相生律、纯律和十二平衡律因便于移调，转调等原因适应于现代音乐文化发展需要，被国际间广泛采用，并视为一种基础律制下面分别详述三种律制。

2、十二不平衡律（或叫五度相生律）
　 这是在一个音阶之内分为若干部分，每一部分之间的振动数比不相等，不平衡律过去种类也繁多，其中以古希腊哲学家、音乐理论家毕达哥拉斯（ pythagoras)的五度循环定律，即由某律开始向上推进五度（纯五度，具体含义见后）产生一新律，由此律再向上推进五度，又产生一新律，如此推进十一次，产生十二个不同的音律，这种构造乐律的方法叫五度圈，见图，外圈大调（Major Keys），内圈小调（Minor Keys).依次为C，G，D，A，E，B，^*F，^*C，^bA，^bE，^bB，F，然后八度移动，纳入一个音级之内，便构成一系列有系统的半音阶，即：C，^*C，D，^*D，E，F，^*F，G，^bA，A，^bB，B。这与中国古代的“三分损益”法是不谋而合，由于最后一律的八度音比开始音略高（约高一个全音的九分之一，人们称之为“毕氏音差”）因此不能算了作纯粹八度，由此也就有了音律大，小之分。例如C到^*C称大律，C到^bD称小律，现在^*D与^bD在钢琴上是同一个键，但按照毕氏理论^*C和^bB并非一样的频率，小提琴演奏家常把^*C靠近上方音，把^bD靠近下方音，以便获得更纯的音，就是根据毕氏定律而来的，下面我们用数据来说。
　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　 　　
　　 在音乐中，任意两个纯音（频率#402;1，#402;2)之间的“区间”是由两频率之比#402;2/#402;1所给定，而不是由它们之差（#402;2-#402;1）所给定，（见第八章韦伯—费克纳定律）。毕氏发现，音的和谐与最小整数比有密切的关系。

毕氏区间

古律表

　　 既然1/1（同音）与2/1（八度）的频率比都不能产生新的音，那么为构造和谐的音律的频率比，最简单（也就是最和谐）的候选数就是3/2（五度）了，从C音出发，以3/2的频率比（纯五度）得G音，又隔五度得D音，以此类推，依次得A，E，B，F，C，G，D，A，E≈C，这就是古律的由来。
　　 第12次（3/2）¹²=129.746基本上还原到C（2⁷=128）这种构造乐律的方法称“五度相生法”，选其中7个，并记上现在的音名，可得：
　　　　　　　　　　
　　 但由于129.746比128约高1.36%，出现了音差，不能还原（所差的音差称为古代“毕氏音差”）。这是古律的第一个困难。古律的第二个困难是失谐，第三是变调难。正如上面所述，古律有大，小之分：

　　　　　　　　　　
　 小半音：90.225音分值，大半音：113.685音分值，这样当变调时就会发生困难，如F调（以F为do）的mi-fa(A*A)之音是一个大半音（频率比2187/2048，合113，685音分值），同原来的C调的mi-fa之间的小半音不符，这样就不可能在一乐器上变调，因此每演奏一个调就需要变换一件乐器，这对于钢琴演奏者来说科就不可能，而变调又是音乐家打破单调，使音乐生动丰富所不可缺少的手法，由此后来才出现了各种平均律的试验。
　　 与毕氏音阶相同的是中国古律：也是把一个音阶分为十二个部分，即十二律吕，古人定律是以竹为工具，有三种说法：“三分损益法”、“下生上生法”和“隔八相生法”。这三种方法都与毕氏定律相同，即五度循环或变相五度循环。所谓“三分损”，就是把律管分为三节，然后减短一节，余下的三分之二便是另一律管之音（上方纯五度）；所谓“三分益”就是把律管分为三节，然后加长一节，变成三分之四，又是另一律管之音（下方纯四度），例如把“黄钟”律管（假定是C）分为研阳，然后减短三分之一，便成“林钟”律管之长（G）；又把林钟律管分为三节，然后加长三分之一，便成“太簇”律管之长（D）；又把太簇律管分为三节，然后减短三分之一，便成“南吕”律管之长（Ａ）；又把南吕律管分为三节，然后加长三分之一，便成“姑洗”律管之长（Ｅ）；又把姑洗律管分为三节，然后减短三分之一，便成“应钟”律管之长（Ｂ）；又把应钟律管分为三节，然后加长三分之一，便成“大器”律管之长（升C）；又把大吕律管分为研阳，然后减短三分之一，便成“夷则”律管之长（升G）；又把夷则律管分为三节，然后加长三分之一，便成“夹钟”律管之长（升D）；又把夹钟律管分为三节，然后减短三分之一，便成“无射”律管之长（升A）；又把无射律管分为研阳，然后加长三分之一，便成“中吕”律管之长（升E）。至此十二个音皆具备了，如果中吕再生，即为高于黄钟之0.7724“执始”。按音阶排列则为：
　　 黄钟（C）、大吕（升C）、太簇（D）、夹钟（升D）、姑洗（E）、中吕（升E）、蕤宾（升F）、林钟（G）、夷则（升G）、南吕（A）、无射（升A）、应钟（B）。从以上就不难看出中国古律与毕氏定律是完全相同，不谋而合。

3、全音阶（Diatonic Scale)——纯律

　　纯律是根据因泛音成立的三和弦而定律的一种律制，根据渊音中相当的精密高度构成了主三和弦（如下图泛音列音阶第一度上的三和弦c²-e²-g²),再依同理构成了属三和弦（第五茺上的三和弦g²-b²-d²)与下属三和弦（第四度上的三和弦f²-a²-c²),取这三和弦中的各音，以成音阶，便是纯律音阶。由此有人认为音阶中各音都是由泛音所奠定，但这是不正确的，泛音与音阶中各音相合，只是一种偶合，只证明错综多样的音乐要素的互相契合罢了。

泛音列可见图
　　　　　　　　

　　基本思想是：C¹/C（2：1），G/C（3：2），F/C（4：3），这些谐音的划分仍从古律继承下来，但E，A，B略不同，引入它们紧靠近的小整数比5/4，5/3，15/8。

表纯粹
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 纯律谐和性研究纯律在三种音律中最谐和，但与平均律相比较也同古律一样处理半音困难，变调困难。

4、平均律

　　一个音阶之内分为若干部分，每一部分之间的振动数比相等者称平均律，平均律也种类繁多，曾有全音平衡律、三十二律，五十三律、四十一律、廿四律等，其中以阿利斯多生（aristozenos)和朱载育（1536-1611）的十二平等律最为流行。阿虽然公元前四世纪提出了该理论，但付诸实施已是十七世纪，且只凭听觉，未加计算。中国明朝的数学家、音乐理论家朱载育是第一个使平均律数学上公式化的人，他的最伟大的贡献是在中律学史上创建了十二平均律。他在“律吕精义”中提出了“新法密率”计算方法。德国音乐理论家实姆霍兹（1821-1894）在“论音乐感觉——乐理的心理学”中写到“在中国人中，据说有一位王子叫载育的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也都是这个有天才和能干的民族所发明出来。

　　十二平均律是数理调音体系之一，它的生律法（Tem-perament)是精确规定八度的比例，并把八度分成十二个半音，使任意相邻的两半音的音程值为2和12次方根，即 。这种定律当然是人为的，但是它的误差不会使习惯于该体系的耳朵感到不悦；而它的忧点是能够转调，特别是在琴键乐器中，可以根据需要任意使用所有的键。十二平均律在今天的西方被很普遍地看作“标准调音”、“标准的西方音律”，但它的数理理论的首创之功是属于朱载育的。

　　朱载育的“新法密率”即将表示八度音程的弦长比2开平方、又开平方、再开立方，得到了2的12次方根的数值1.059463……。这个值就是通常所说的半音，我国传统说法为之应钟律数。然后朱载育将八度值2连续除以应钟值，累除十二次，就得到了相应的平均律中八茺内十二个音的音高。因为朱载育将八度值2累聆听2的12次方根（应钟值），因此，这个平均律实际上就是以 为公比数的等比数列。朱开车育将这个公比数称之为“密率”。现我们将朱载育的“新法密率”详细计算结果列于表2-4。

朱载育的十二平均表

律名	正律	倍律
		计算结果	计算方法	今日音名
黄钟	1	2	212/12	c2
大吕	0.943874	1.887748		b1
太簇	0.890898	1.781797		#a1
夹钟	0.840896	1.681792		a1
姑洗	0.793700	1.587401		#g1
钟吕	0.749153	1.498307		g1
蕤宾	0.707106	1.414213		#f1
林钟	0.667419	1.334838		f1
夷则	0.629960	1.259921		e1
南吕	0.594603	1.189207		#d1
无射	0.561231	1.122462		d1
应钟	0.529731	1.059463		#c1
清黄钟	0.5	1		c1

用这方法产生的十二平均律各参数见表2-5

　　由此可以看出平均律不如前两个音律谐和，但却易于处理半音和变调，便于演奏者更好地发挥技能（这是因为人只有十个指头，即使加上两只脚，也很难操纵太复杂的乐器）。

　　这种平均律现已成为欧洲乐制的中心，欧洲十八世纪音乐大师巴赫还特地写了一套平均律的钢琴曲集来证明十二平均律的合理和实用，至今各种键盘乐器和木管乐器都是按十二平均律调音，另一方面铜管乐器又必定要利用它的符合于纯律的泛音，当然，弦乐器和声乐是可以随意调节高的，试验表明小提琴家在演奏时倾向于纯律，而在与钢琴合奏时勉强朝平均律靠拢。

^{* 此表和上表中的c1实际上是钢琴的C3，表中的C为C4。}

下面讲座平均律的谐和性：*
　　 这里的失谐（平均律相对于纯律的偏差）明显大于人耳的分辨率下限，不难被训练有素的音乐家们所察觉。亥姆霍兹就描述过，当听惯了纯律的耳朵去听平均律的钢琴时“每个音符听起来都是直了调和乱糟糟的”，而当奏起和弦时“简直象地狱那样吵闹”，所以平均律的缺点是部分失谐。

5、三种律制的比较

　　依五度相生律，大音阶中的全音均为“大全音”（major tone)(振动数比为8：9）。若依纯律，则大音阶中的全音有大全音与“小全音：（minor tone)(振动数比为9：10）之分：1-2，4-5，6-7各音间均为大全音；2-3，5-6合音间则为小全音，大全音比小全音大一个“音差”（音差的振动数比为80：81）。比如在C大调音阶中，同是全音，c-d双d-e大一音差，所以五度相生律的大音阶与纯律的大音阶比较，除第二，四，五，八各度相同之外，其余第三、六、七各度都是五度相生律比纯律高——各高一个音差。平衡律大音阶与上述两种律制比较，则除八度完全相同外，其实各度均有出入。大体上，平均律介于其它两种律这间，如平均律师的第三度比五度相生律的低，而比纯律的高。

　　关于音律问题，我们已经看到，人类经过几千年的努力，至今没有找到一种既简便又令人满意的音律，就如同科学领域里至今也还有许多问题需要去控讨一样。